高阶导数十个常用公式

高阶导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的切线斜率的变化率。以下是一些常用的高阶导数公式：

1. 幂函数的高阶导数：

\[ (x^n)^{(n)} = n! \cdot x^{n-n} = n! \]

其中 \( n! \) 表示 \( n \) 的阶乘，即 \( n! = n \times (n-1) \times \ldots \times 2 \times 1 \)。

2. 三角函数的高阶导数：

- \( \sin(x) \) 的高阶导数：

\[ \sin^{(n)}(x) = \cos((2k-n)x) \text{ 当 } n = 2k \]

\[ \sin^{(n)}(x) = -\sin((2k+1-n)x) \text{ 当 } n = 2k+1 \]

- \( \cos(x) \) 的高阶导数：

\[ \cos^{(n)}(x) = -\sin((2k-n)x) \text{ 当 } n = 2k \]

\[ \cos^{(n)}(x) = \sin((2k+1-n)x) \text{ 当 } n = 2k+1 \]

3. 指数函数的高阶导数：

\[ (e^x)^{(n)} = e^x \]

指数函数的所有阶导数都是它本身。

4. 对数函数的高阶导数：

\[ (\ln(x))^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(1-x)^{n-1}}{x^n} \text{ 当 } x > 0 \]

5. 双曲函数的高阶导数：

- \( \sinh(x) \) 的高阶导数：

\[ \sinh^{(n)}(x) = \cosh((2k-n)x) \text{ 当 } n = 2k \]

\[ \sinh^{(n)}(x) = \sinh((2k+1-n)x) \text{ 当 } n = 2k+1 \]

- \( \cosh(x) \) 的高阶导数：

\[ \cosh^{(n)}(x) = \sinh((2k-n)x) \text{ 当 } n = 2k \]

\[ \cosh^{(n)}(x) = \cosh((2k+1-n)x) \text{ 当 } n = 2k+1 \]

6. 乘积的高阶导数（莱布尼茨公式）：

\[ (fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} (f^{(k)}g^{(n-k)}) \]

其中 \( f \) 和 \( g \) 是可导函数。

7. 商的高阶导数（商规则的推广）：

\[ \left(\frac{f}{g}\right)^{(n)} = \frac{P_n(f, g)}{g^{n+1}} \]

其中 \( P_n(f, g) \) 是 \( f \) 和 \( g \) 及其导数的多项式。

8. 链式法则的高阶导数：

\[ (f(g(x)))^{(n)} = \sum_{k=1}^{n} f^{(k)}(g(x)) \cdot g^{(n-k)}(x) \]

其中 \( f \) 和 \( g \) 是可导函数。

这些公式是高阶导数计算的基础，可以帮助解决更复杂的微积分问题。

6种常见函数的高阶导数

在数学中，高阶导数是指函数的导数的导数，也就是多次求导。以下是六种常见函数及其高阶导数的一般形式：

1. 常数函数 \( f(x) = c \)（其中 \( c \) 是常数）

- 任何阶导数都是 0。

2. 幂函数 \( f(x) = x^n \)（其中 \( n \) 是实数）

- 一阶导数：\( f'(x) = nx^{n-1} \)

- 高阶导数：\( f^{(n)}(x) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)x^{n-k} \)，其中 \( k \) 是导数的阶数。

3. 指数函数 \( f(x) = e^x \)

- 所有阶导数：\( f^{(n)}(x) = e^x \)

4. 对数函数 \( f(x) = \ln(x) \)（自然对数）

- 一阶导数：\( f'(x) = 1/x \)

- 高阶导数：\( f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n} \)

5. 三角函数 \( \sin(x) \) 和 \( \cos(x) \)

- \( \sin(x) \) 的一阶导数：\( \cos(x) \)

- \( \cos(x) \) 的一阶导数：\( -\sin(x) \)

- 高阶导数：\( \sin(x) \) 和 \( \cos(x) \) 的高阶导数会交替出现，每4次导数后重复。

6. 双曲正弦和双曲余弦函数 \( \sinh(x) \) 和 \( \cosh(x) \)

- \( \sinh(x) \) 的一阶导数：\( \cosh(x) \)

- \( \cosh(x) \) 的一阶导数：\( \sinh(x) \)

- 高阶导数：\( \sinh(x) \) 和 \( \cosh(x) \) 的高阶导数会交替出现，每4次导数后重复。

这些是基本函数的高阶导数的一般形式。对于更复杂的函数，高阶导数可以通过复合函数的导数规则来计算。

n阶导数公式大全

在数学中，n阶导数是指函数的导数连续求n次的结果。以下是一些基本函数的n阶导数公式：

1. 常数函数 \( f(x) = c \)：

- \( f'(x) = 0 \)（一阶导数）

- 对于所有 \( n > 1 \)，\( f^{(n)}(x) = 0 \)

2. 幂函数 \( f(x) = x^n \)（\( n \) 是实数）：

- \( f^{(n)}(x) = n! \cdot x^{n-n} = n! \) 当 \( x = 0 \) 时，\( n > 1 \) 的情况除外。

3. 指数函数 \( f(x) = a^x \)（\( a > 0, a \neq 1 \)）：

- \( f^{(n)}(x) = a^x \ln(a)^n \)

4. 对数函数 \( f(x) = \ln(x) \)（\( x > 0 \)）：

- \( f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n} \)

5. 三角函数：

- \( \sin(x) \) 的n阶导数：\( f^{(n)}(x) = \sin(x + n\pi/2) \) 或 \( (-1)^{k} \cos(x) \) 当 \( n = 2k+1 \)，\( (-1)^{k} \sin(x) \) 当 \( n = 2k \)

- \( \cos(x) \) 的n阶导数：\( f^{(n)}(x) = \cos(x - n\pi/2) \) 或 \( (-1)^{k} \sin(x) \) 当 \( n = 2k+1 \)，\( (-1)^{k+1} \cos(x) \) 当 \( n = 2k \)

6. 反三角函数：

- \( \arcsin(x) \) 的n阶导数：\( f^{(n)}(x) = \frac{P_n(x)}{1-x^2} \)，其中 \( P_n(x) \) 是 \( x \) 的多项式。

- \( \arccos(x) \) 的n阶导数：\( f^{(n)}(x) = (-1)^{n+1} \frac{Q_n(x)}{1-x^2} \)，其中 \( Q_n(x) \) 是 \( x \) 的多项式。

7. 正割函数 \( \sec(x) \) 和余割函数 \( \csc(x) \)：

- \( \sec(x) \) 的n阶导数：\( f^{(n)}(x) = \sec(x)\tan(x) \cdot f^{(n-1)}(\tan(x)) \)

- \( \csc(x) \) 的n阶导数：\( f^{(n)}(x) = -\csc(x)\cot(x) \cdot f^{(n-1)}(\cot(x)) \)

8. 双曲正弦和余弦函数 \( \sinh(x) \) 和 \( \cosh(x) \)：

- \( \sinh(x) \) 的n阶导数：\( f^{(n)}(x) = \cosh(x) \) 当 \( n \) 是奇数，\( \sinh(x) \) 当 \( n \) 是偶数。

- \( \cosh(x) \) 的n阶导数：\( f^{(n)}(x) = \sinh(x) \) 当 \( n \) 是奇数，\( \cosh(x) \) 当 \( n \) 是偶数。

这些是一些基本函数的n阶导数公式。对于更复杂的函数，n阶导数的计算可能需要使用导数的运算法则，如乘积法则、商法则、链式法则等。如果你需要更具体的函数的n阶导数公式，可以提供具体的函数形式，我可以帮助你计算。