arctanx的积分
函数 \(\arctan(x)\) 的不定积分可以通过积分的部分积分法来计算。部分积分法的公式是：
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
对于 \(\arctan(x)\) 的积分，我们可以选择 \(u = \arctan(x)\) 和 \(dv = dx\)。接下来，我们需要计算 \(du\) 和 \(v\)：
- \(du = \frac{1}{1+x^2} \, dx\)（因为 \(\frac{d}{dx}(\arctan(x)) = \frac{1}{1+x^2}\)）
- \(v = \int dx = x\)
现在，我们可以应用部分积分法：
\[
\int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx
\]
接下来，我们需要计算 \(\int \frac{x}{1+x^2} \, dx\)。这个积分可以通过长除法或者通过识别它是一个简单的对数函数的变体来解决：
\[
\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln |1+x^2| + C
\]
最终的积分结果是：
\[
\int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln |1+x^2| + C
\]
其中 \(C\) 是积分常数。
∫arctanxdx的详解
积分 \(\int \arctan x \, dx\) 是一个常见的不定积分问题。我们可以通过部分积分法来求解它。部分积分法的公式是：
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
对于 \(\int \arctan x \, dx\)，我们可以选择 \(u = \arctan x\) 和 \(dv = dx\)。接下来，我们需要计算 \(du\) 和 \(v\)：
1. \(u = \arctan x\)，所以 \(du = \frac{1}{1+x^2} dx\)。
2. \(dv = dx\)，所以 \(v = x\)。
现在我们可以应用部分积分法：
\[
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx
\]
接下来，我们需要计算 \(\int \frac{x}{1+x^2} \, dx\)。这个积分可以通过长除法或者识别它是一个简单的有理函数来解决。这个积分的结果是：
\[
\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln |1+x^2|
\]
原积分可以写为：
\[
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln |1+x^2| + C
\]
其中 \(C\) 是积分常数。这就是 \(\int \arctan x \, dx\) 的详解。
∫arctantdt等于什么
积分 \(\int \arctan(t) \, dt\) 可以通过部分积分法来计算。设 \(u = \arctan(t)\) 并且 \(dv = dt\)，则 \(du = \frac{1}{1+t^2} \, dt\) 并且 \(v = t\)。应用部分积分法：
\[
\int \arctan(t) \, dt = t \arctan(t) - \int \frac{t}{1+t^2} \, dt
\]
接下来，我们计算 \(\int \frac{t}{1+t^2} \, dt\)。这个积分可以通过长除法或者识别它为 \(\frac{1}{2} \ln(1+t^2)\) 的导数来解决。我们有：
\[
\int \frac{t}{1+t^2} \, dt = \frac{1}{2} \ln(1+t^2) + C
\]
其中 \(C\) 是积分常数。将这个结果代入上面的部分积分公式中，我们得到：
\[
\int \arctan(t) \, dt = t \arctan(t) - \frac{1}{2} \ln(1+t^2) + C
\]
这就是 \(\int \arctan(t) \, dt\) 的积分结果。
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