等比数列前n项和公式推导
等比数列是指一个数列中任意相邻两项的比值都相等的数列，这个比值被称为等比数列的公比，通常用字母 \( r \) 表示。等比数列的通项公式是 \( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \)，其中 \( a_n \) 是第 \( n \) 项，\( a_1 \) 是首项。
等比数列前 \( n \) 项和的公式推导可以通过错位相减法来完成，下面是一个简化的推导过程：
1. 假设等比数列的首项为 \( a_1 \)，公比为 \( r \)，则该数列的前 \( n \) 项和 \( S_n \) 可以表示为：
\[ S_n = a_1 + a_1r + a_1r^2 + \ldots + a_1r^{n-1} \]
2. 将 \( S_n \) 乘以公比 \( r \) 得到：
\[ rS_n = a_1r + a_1r^2 + a_1r^3 + \ldots + a_1r^n \]
3. 将原始的 \( S_n \) 和 \( rS_n \) 相减，得到：
\[ S_n - rS_n = a_1 - a_1r^n \]
4. 简化上式，得到：
\[ S_n(1 - r) = a_1(1 - r^n) \]
5. 当 \( r \neq 1 \) 时，可以将 \( S_n \) 单独解出：
\[ S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} \]
6. 当 \( r = 1 \) 时，数列的每一项都相等，前 \( n \) 项和简化为：
\[ S_n = na_1 \]
所以，等比数列前 \( n \) 项和的公式为：
\[ S_n = \begin{cases}
na_1 & \text{if } r = 1 \\
\frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} & \text{if } r \neq 1
\end{cases} \]
这个公式可以用来计算任何等比数列的前 \( n \) 项和，只要知道首项 \( a_1 \) 和公比 \( r \)。
等比数列公式大全图片
等比数列的公式是高中数学中的一个重要概念，以下是等比数列的一些基本公式，这些信息主要来源于您提供的网上：
1. 定义式：一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值是一个常数，这个数列就是等比数列，这个常数称为等比数列的公比，记作 \( r \)。
2. 通项公式：等比数列的第 \( n \) 项可以表示为 \( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \)，其中 \( a_1 \) 是数列的第一项，\( r \) 是公比，\( n \) 是项数。
3. 求和公式：
- 当公比 \( r \neq 1 \) 时，前 \( n \) 项和 \( S_n \) 可以表示为 \( S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \)。
- 当公比 \( r = 1 \) 时，前 \( n \) 项和 \( S_n \) 为 \( S_n = n \cdot a_1 \)。
4. 等比中项：如果存在一个数 \( G \) 满足 \( G^2 = a \cdot b \)，则 \( G \) 是 \( a \) 和 \( b \) 的等比中项。
5. 无穷递缩等比数列求和：对于公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列，其和 \( S \) 可以表示为 \( S = \frac{a_1}{1 - r} \)。
6. 性质：
- 在等比数列中，若 \( m, n, p, q \in N^* \) 且 \( m + n = p + q \)，则 \( a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q \)。
- 一个正项等比数列与等差数列是“同构”的，即它们有相似的性质。
7. 应用：等比数列在实际生活中有广泛应用，例如银行的复利计算，公式为 \( 本利和 = 本金 \times (1 + 利率)^{存期} \)。
上述公式中的 \( a_n \) 表示等比数列的第 \( n \) 项，\( a_1 \) 表示等比数列的第一项，\( r \) 表示公比，\( n \) 表示项数。这些信息综合了您提供的网上中的等比数列公式。如果您需要更详细的解释或有其他问题，请告知。
等比数列基本的5个公式
等比数列是数学中的一种数列，其中每一项都是前一项的常数倍，这个常数被称为等比数列的公比。等比数列的基本公式通常包括以下几个：
1. 通项公式：\[a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\]
其中，\(a_n\) 是第 \(n\) 项，\(a_1\) 是首项，\(r\) 是公比，\(n\) 是项数。
2. 求和公式（前 \(n\) 项和）：\[S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - r^n)}{1 - r}\]
当 \(r \neq 1\) 时，等比数列的前 \(n\) 项和 \(S_n\) 可以用此公式计算。
3. 无穷等比数列求和公式（当 \(|r| < 1\)）：\[S = \frac{a_1}{1 - r}\]
对于无穷等比数列，如果公比 \(r\) 的绝对值小于 1，则数列的和 \(S\) 可以用此公式计算。
4. 等比中项公式：如果 \(x\) 和 \(y\) 成等比关系，即 \(x = y \cdot r\)，则 \(z\) 为 \(x\) 和 \(y\) 的等比中项，满足 \(z^2 = xy\)。
5. 等比数列的性质：
- 相邻项的比值相等：\[\frac{a_{n+1}}{a_n} = r\]
- 对于任意正整数 \(k\)，有 \(a_{n+k} = a_n \cdot r^k\)
这些公式是解决等比数列问题的基础，可以用于计算数列的各项以及数列的和。
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